Triangulations of uniform subquadratic growth are quasi-trees

Abstract

. — It is known that for every α (cid:62) 1 there is a planar triangulation in which every ball of radius r has size Θ( r α ). We prove that for α < 2 every such triangulation is quasi-isometric to a tree. The result extends to Riemannian 2-manifolds of finite genus, and to large-scale-simply-connected graphs. We also prove that every planar triangulation of asymptotic dimension 1 is quasi-isometric to a tree. Résumé. — On sait que pour tout α (cid:62) 1 il existe une triangulation planaire dans laquelle toute boule de rayon r a une taille Θ( r α ). Nous prouvons que pour α < 2 une telle triangulation est quasi-isométrique à un arbre. Le résultat s’étend aux 2-variétés riemanniennes de genre fini, et aux graphes simplement connexes à grande échelle. Nous prouvons également que toute triangulation planaire de dimension asymptotique 1 est quasi-isométrique à un arbre.