Modular Graph Forms and Scattering Amplitudes in String Theory

In dieser Dissertation untersuchen wir die Niedrigenergieentwicklung von Streuamplituden geschlossener Strings auf Einschleifenniveau (d.h. auf Genus eins) in einem zehndimensionalen Minkowski-Hintergrund mit Hilfe einer speziellen Klasse von Funktionen, den sogenannten modularen Graphenformen. Diese erlauben eine systematische Berechnung der Niedrigenergieentwicklung und erfullen viele nicht-triviale algebraische- und Differentialgleichungen. Wir studieren diese Relationen detailliert und leiten Basiszerlegungen fur eine grose Zahl modularer Graphenformen her. Eines der Ergebnisse dieser Dissertation ist ein Mathematica-Paket, welches diese Vereinfachungen automatisiert. Wir benutzen diese Techniken, um die fuhrenden Niedrigenergieordnungen der Streuamplitude von vier Gluonen im heterotischen String auf Einschleifenniveau zu berechnen. Fur Stringamplituden auf Baumniveau bildet die Einwertigkeitsabbildung multipler Zetawerte offene Stringamplituden auf geschlossene Stringamplituden ab. Wir zeigen, dass ein bestimmter Vorschlag fur die Definition einer geeigneten einschleifen-Verallgemeinerung, der sogenannten elliptische Einwertigkeitsabbildung, nicht alle Terme im heterotischen String reproduzieren kann. Ferner studieren wir eine Erzeugendenfunktion, die vermutlich die Torusintegrale aller perturbativen Theorien geschlossener Strings enthalt. Wir bestimmen eine Differentialgleichung, die von dieser Erzeugendenfunktion erfullt wird und losen sie mit Hilfe von pfadgeordneten Exponentialen, was auf iterierte Integrale von holomorphen Eisensteinreihen fuhrt. Da eine ahnliche Konstruktion im offenen String zur Verfugung steht, eroffnet dies auserdem eine neue Perspektive auf die elliptische Einwertigkeitsabbildung.%%%%In this thesis, we investigate the low-energy expansion of scattering amplitudes of closed strings at one-loop level (i.e. at genus one) in a ten-dimensional Minkowski background using a special class of functions called modular graph forms. These allow for a systematic evaluation of the low-energy expansion and satisfy many non-trivial algebraic and differential relations. We study these relations in detail, leading to basis decompositions for a large number of modular graph forms which greatly reduce the complexity of the expansions of the integrals appearing in the amplitude. One of the results of this thesis is a Mathematica package which automatizes these simplifications. We use these techniques to compute the leading low-energy orders of the scattering amplitude of four gluons in the heterotic string at one-loop level. For tree-level string amplitudes, the single-valued map of multiple zeta values maps open-string amplitudes to closed-string amplitudes. The definition of a suitable one-loop generalization, a so-called elliptic single-valued map, is an active area of research and we show that a certain conjectural definition for this map, which was successfully applied to maximally supersymmetric amplitudes, cannot reproduce all terms in the heterotic string which has half-maximal…