Counterexamples for multi-parameter weighted paraproducts

We build the plethora of counterexamples to bi-parameter two weight embedding theorems. Two weight one parameter embedding results (which is the same as results of boundedness of two weight classical paraproducts, or two weight Carleson embedding theorems) are well known since the works of Sawyer in the 80’s. Bi-parameter case was considered by S. Y. A. Chang and R. Fefferman but only when underlying measure is Lebesgue measure. The embedding of holomorphic functions on bi-disc requires general input measure. In [9] we classified such embeddings if the output measure has tensor structure. In this note we give examples that without tensor structure requirement all results break down. Résumé. Dans le présent article, nous construisons une pléthore de contre-exemples aux théorèmes de plongements à deux poids et à deux paramètres. Les résultats de plongement à un paramètre et à deux poids (qui sont la même chose que les résultats de paraproduits bornés classiques à deux poids) sont bien connus depuis les travaux de Sawyer dans les années 80. S. Y. A. Chang et R. Fefferman ont examiné le cas des deux paramètres, mais uniquement lorsque la mesure sous-jacente est la mesure de Lebesgue. Le plongement de fonctions holomorphes sur le bi-disque nécessite une mesure générale en entrée. Dans [9], nous avons classé ces plongements lorsque la mesure obtenu en sortie a une structure tensorielle. Dans cette note, nous donnons des contre-exemples d’après lesquels tous les résultats deviennent faux en l’absence d’hypothèse d’une structure tensorielle. Funding. We acknowledge the support of the following grants: AV-NSF grant DMS-1900286. Manuscript received 10th February 2020, revised and accepted 16th April 2020. ∗Corresponding author. ISSN (electronic) : 1778-3569 https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/ 530 Pavel Mozolyako, Georgios Psaromiligkos and Alexander Volberg Version française abrégée Le résultat principal de cet article est la pléthore de contre-exemples qui révèlent que la question de plongement bornée à deux poids et à deux paramétre n’a (peut être) aucune critère qui ressemble le critère pour le plongement bornée à deux poids et à un paramètre (bien connu comme l’imbedding de Carleson à deux poids, voir [14] et aussi [13]). On construit ici les contreexample pour quelques conjectures naturelles. C’est fait dans le cas quand une de deux mesure est arbitraire et une autre est une mesure assez simple mais sans une structure tensorielle. Si la structure tensorielle de deuxième mesure est présente, nous avons démontré dans [9] que le critère de Carleson est nécessaire et suffisante pour l’imbedding. En plus nous avons démontré dans [9] que le critère de « boite » est aussi nécessaire et suffisante pour l’imbedding. C’est une contraste inattendu avec les résultats de S. Y. A. Chang et R. Fefferman où on a le contre-example de Carleson qui dit que le critère de « boite » n’est pas equivalent au critère de Carleson. 1. Hardy inequality on the n-tree and energy of measures We consider here bi-linear bi-parameter dyadic paraproducts, that is the operators of the type ( f , g )→ ∑ R=I×J ( f ,1R )