Topology of the phase in aperiodic crystals

The phase degrees of freedom of aperiodic crystals (quasicrystals) are far from being understood. In this paper we study in great detail the geometrical and topological properties of the «phase space» of quasicrystals, for usual quasicrystalline symmetries (icosahedral and pentagonal cases) and for the cases d=3, d ∥ =1 and d=4, d ∥ =2. It is shown that the universal covering of the phase space is a curved crystal of negative Gaussian curvature, whose group of automorphisms contains therefore the fundamental group of the phase space as a subgroup. This fundamental group is calculated in each case. The results do not depend in any way on the cho Les degres de liberte relatifs a la phase des cristaux aperiodiques sont loin d'etre compris. Dans cet article, nous etudions en grand detail les proprietes geometriques et topologiques de l'espace representatif de la phase pour des symetries quasicristallines usuelles (icosaedrique et pentagonale) et pour les cas d=3, d ∥ =1 et d=4, d∥=2. On montre que l'espace de la phase a pour revetement universel un cristal d'espace courbe de courbure gaussienne negative; le groupe fondamental de l'espace de la phase est un sous-groupe du groupe d'automorphismes de ce cristal courbe. Nous le calculons dans chaque cas envisage. Les resultats ne dependent en aucune maniere du choix et de la «surface atomique» (le motif) qui decore la cellule de base du cristal hypercubique d'ou le quasicristal est engendre. En consequence, ils ne dependent pas non plus du fait que les phasons sont continus ou discrets. Ces recherches constituent un premier pas necessaire dans l'etude de la nature geometrique et topologique des deformations du type «phason». On discute en outre de l'homomorphisme entre l'espace de la phase et le groupe qui classe les dislocations. Finalement nous indiquons sans entrer dans les details que le groupe fondamental de l'espace de la phase classe les defauts topologiques du type phason