SOBRE UNA CONJETURA DE BOREVICH & SHAFAREVICH

Abstract

l. Borevich & l. R. Shafarevich conjeturaron la racionalidad de la serie de Poincaré ∑n≥0CnUn donde C0=1 y Cn (≥1) designa al número de soluciones de la reducción módulo ℓr, ℓe primo racional, de un polinomio H(t) € Z,[t], t= (t1…,t). Esta conjetura fue confirmada por J. Igusa, usando el profundo teorema de resolución de singularidades de Hironalca. Más tarde, J. Denef dio una nueva demostración usando esencialmente el hecho de que Q, admite eliminación de cuantificadores, evitando así el teorema de Hironaka. La misma conjetura está aún sin resolver en el caso de característica> O, anotándose que ninguna de las técnicas usadas en el caso de característica O parece ser apropiada en característica > O. En esta corta comunicación demostramos la conjetura en característica > O para algunos tipos de polinomios, usando métodos elementales.