阿贝尔群中的最大无和集合

AbstractLet \(G\) be an Abelian group of order n, let \(k \geqslant 2\) be an integer, and \({{A}_{1}}, \ldots ,{{A}_{k}}\) be nonempty subsets of \(G\).如果方程 \({{x}_{1}} + \ldots + {{x}_{k}} = 0\) 在集合 \(\left( {{A}_{1}}、\ldots ,{{A}_{k}}} \right),\) where \({{x}_{1}} \in {{A}_{1}}\), ..., \({{x}_{k}} \in {{A}_{k}}\).在 \(G\) 中的\(k\)-SFC 族将用\(SF{{C}_{k}}\left( G\right)\) 表示。如果 SF{{C}_{k}}\left( {{A}_{1}}, \ldots ,{{A}_{k}}} \right) 中的集合 \(\left( {{A}_{1}}, \ldots ,{{A}_{k}}} \right) \)是 \(\left| {{A}_{1}}} \right| + \ldots + \left| {{A}_{k}}} \right|) 的和的最大值，那么这个集合就称为容量最大集合、并且如果对于任何 \(i \in \left\{{1,....,k}）和（x 在 G{kern 1pt} {{\backslash }}{{kern 1pt} {{A}_{i}}, \）的集合 \(\left( {{A}_{1}},...,{{A}_{i - 1}}}},{{A}_{i}})\cup \left\{ x \right\},{{A}_{i + 1}}},...,{{A}_{k}}}}）。\right)\( \notin\) \(SF{{C}_{k}}}left( G \right).\)Suppose \({{\varrho }_{k}}\left( G \right) = \left| {{{A}_{1}}}\right| + \ldots + \left| {{A}_{k}}}\right|.\)在这项工作中，我们将研究 \({{\varrho }_{k}}\left( G \right)\) 的最大值问题。特别是确定了循环群 \({{Z}_{d}}\) 的 \({{\varrho }_{k}}\left( {{{Z}_{d}}} \right)\) 的最大值。对于阿贝尔群 \(G.\)，得到了 \({{\varrho }_{k}}\left( {{{Z}_{d}}} \right)\) 的上界和下界。 对于任意循环群，通过容量（通过包含）描述了最大无 k 和集合的结构。