Rings in Which Every Element Is a Sum of a Nilpotent and Three 7-Potents

International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences Pub Date : 2024-03-19 DOI:10.1155/2024/4402496

Yanyuan Wang, Xinsong Yang

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Abstract

In this article, we define and discuss strongly

S_{3, 7}

nil-clean rings: every element in a ring is the sum of a nilpotent and three 7-potents that commute with each other. We use the properties of nilpotent and 7-potent to conduct in-depth research and a large number of calculations and obtain a nilpotent formula for the constant

a

. Furthermore, we prove that a ring

R

is a strongly

S_{3, 7}

nil-clean ring if and only if

R = R_{1} \oplus R_{2} \oplus R_{3} \oplus R_{4} \oplus R_{5} \oplus R_{6}

, where

R_{1}

R_{2}

R_{3}

R_{4}

R_{5}

, and

R_{6}

are strongly

S_{3, 7}

nil-clean rings with

2 \in Nil (R_{1})

3 \in Nil (R_{2})

5 \in Nil (R_{3})

7 \in Nil (R_{4})

13 \in Nil (R_{5})

, and

19 \in Nil (R_{6})

. The equivalent conditions of strongly

S_{3, 7}

nil-clean rings in some cases are discussed.

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每个元素都是一个无元素和三个七元素之和的环

在这篇文章中，我们定义并讨论了强 S3,7 无净环：环中的每个元素都是一个无势和三个相互换约的 7 势的和。我们利用零势和七势的性质进行了深入研究和大量计算，得到了常数 a 的零势公式。此外，我们证明了当且仅当 R=R1⊕R2⊕R3⊕R4⊕R5⊕R6 时，环 R 是强 S3,7 无净环，其中 R1, R2、R3、R4、R5 和 R6 是强 S3,7 无净环，其中有 2∈NilR1、3∈NilR2、5∈NilR3、7∈NilR4、13∈NilR5 和 19∈NilR6。讨论了强 S3,7 无净环在某些情况下的等价条件。

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