复活和部分 Theta 系列

Abstract We consider partial theta series associated with periodic sequences of coefficients, namely, （ \Theta(\tau)：= sum_{n>0} n^\nu f(n) e^{i\pi n^2\tau/M}\), 其中（\nu\in\mathbb{Z}_{\ge0}\) 和（f\colon\mathbb{Z} \to\mathbb{C}\) 是一个（M\）周期函数。这样的函数 （theta）在半平面 （{ Im}\tau>；在 \(\Theta(\tau)\) 的渐近线上，当 \(\tau\) 非直角地趋向于任意 \(\alpha\in\mathbb{Q}\) 时，会出现一个形式上的幂级数，它取决于 \(\nu\) 和 \(f\) 的奇偶性。）我们讨论了这些数列的可求和性和回升性；也就是说，我们给出了它们的形式博雷尔变换的明确公式，以及它们对 \(\Theta\) 的模块性特性，或者说扎吉尔（Zagier）最近理论意义上的 "量子模块性 "特性的影响。离散傅里叶变换发挥了意想不到的作用，并引出了埃卡勒 "桥方程 "的数论类比。主要论点是：（量子）模块性 \(=\) 斯托克斯现象 \(+\) 离散傅立叶变换。