论自由群和面群的无限刚度

摘要 假设 S 是自由群或封闭双曲面的基群。我们证明，如果 G 是一个有限生成的残 P 群，其原 P 完成与 S 相同，那么 G 的两个生成子群是自由的。这概括了鲍姆斯拉格（Baumslag）对无旁群的类似结果（并给出了新的证明）。我们的论证依赖于以下新要素：如果 G 是一个残余（无扭无钾）群，而 \(H\le G\) 是一个实际上多环的子群，那么 H 是无钾的，并且 G 的亲 P 拓扑会在 H 上诱导其完整的亲 P 拓扑。然后我们研究无限刚度的应用。雷梅斯连尼科夫猜想，有限生成的残差有限 G 具有无限完备性 \({\hat{G}}cong {\hat{S}}\) 必然是 \(G\cong S\) 。当 G 属于一类从有限生成的自由残差群开始具有有限无边层次的群（({\mathcal {H}_\textbf{ab}}\) 时，我们就能证实这一点。这加强了威尔顿之前的一个依赖于双曲性假设的结果。最后，我们证明了群\(S\times \mathbb {Z}^n\) 在有限生成的自由残差群中是无限刚性的。