On equivalence of singularities of second order linear differential equations by point transformations

Abstract

— The article provides a local classification of singularities of meromorphic second order linear ordinary differential equations with respect to analytic/meromorphic linear point transformations, that is, transformations of both the unknown function and of the independent variable. In particular, it is shown that under a non-degeneracy condition two linear differential equations are analytically equivalent if and only if the associated companion systems are analytically equivalent as systems. Also the Lie algebras of analytic linear infinitesimal symmetries of the singularities are determined. RÉSUMÉ. — L’article propose une classification locale des singularités des équations différentielles linéaires du second ordre aux coefficients méromorphes par rapport aux transformations ponctuelles analytiques/méromorphes, c’est-à-dire, les transformations de la fonction inconnue aussi que de la variable indépendante. En particulier, il est montré que sous une condition de non-dégénérescence deux équations différentielles linéaires sont analytiquement équivalentes si et seulement si les systèmes compagnons associés sont analytiquement équivalents comme systèmes. Aussi les algèbres de Lie des symétries linéaires analytiques infinitésimales des singularités sont déterminées.