Sharp phase transition for Gaussian percolation in all dimensions

Abstract

. — We consider the level-sets of continuous Gaussian fields on R d above a certain level − ‘ ∈ R , which defines a percolation model as ‘ varies. We assume that the covariance kernel satisfies certain regularity, symmetry and positivity conditions as well as a polynomial decay with exponent greater than d (in particular, this includes the Bargmann–Fock field). Under these assumptions, we prove that the model undergoes a sharp phase transition around its critical point ‘ c . More precisely, we show that connection probabilities decay exponentially for ‘ < ‘ c and percolation occurs in sufficiently thick 2D slabs for ‘ > ‘ c . This extends results recently obtained in dimension d = 2 to arbitrary dimensions through completely different techniques. The result follows from a global comparison with a truncated (i.e. with finite range of dependence) and discretized (i.e. defined on the lattice ε Z d ) version of the model, which may be of independent interest. The proof of this comparison relies on an interpolation scheme that integrates out the long-range and infinitesimal correlations of the model while compensating them with a slight change in the parameter ‘ . Résumé. — On considère les courbes de niveau de champs gaussiens continus sur R d au-dessus d’un certain niveau − ‘ ∈ R , ce qui définit un modèle de percolation lorsque ‘ varie. Nous supposons que le noyau de covariance satisfait certaines conditions de régularité, de symétrie et de positivité ainsi qu’une décroissance polynomiale d’exposant supérieur à d (cela inclut notamment le champ de Bargmann–Fock). Sous ces hypothèses, nous prouvons que le modèle subit une transition de phase abrupte autour de son point critique ‘ c . Plus précisément, nous montrons que les probabilités de connexion décroissent exponentiellement pour ‘ < ‘ c et que la percolation se produit dans des dalles 2D suffisamment épaisses pour ‘ > ‘ c . Ceci étenddles résultats récemment obtenus en dimension d = 2 à des dimensions arbitraires par des techniques complètement différentes. Le résultat découle d’une comparaison globale avec une version tronquée (c’est-à-dire avec une plage de dépendance finie) et discrétisée (c’est-à-dire définie sur le réseau ε Z d ) du modèle, qui peut présenter un intérêt indépendant. La démonstration de cette comparaison repose sur un schéma d’interpolation qui intègre les corrélations à longue portée et infinitésimales du modèle tout en les compensant par une légère modification du paramètre ‘ .