Equações diofantinas lineares e não lineares: uma abordagem por meio de questões de Olimpíadas de Matemática

Abstract

Neste trabalho, apresentaremos m´etodos e t´ecnicas de solu¸c˜ao para equa¸c˜oes diofantinas lineares e n˜ao lineares por meio de quest˜oes de Olimp´ıadas de Matem´atica. No tratamento das equa¸c˜oes lineares, exploraremos a teoria de divisibilidade nos n´umeros inteiros, o conceito de m´aximo divisor comum (MDC) e, ent˜ao, apresentaremos um resultado, provando, assim, a existˆencia de solu¸c˜oes. No caso n˜ao linear, exploraremos t´ecnicas para determinados casos, uma vez que, para equa¸c˜oes diofantinas n˜ao lineares, n˜ao h´a um m´etodo geral de solu¸c˜ao. Apresentaremos quatro casos de resolu¸c˜ao baseados em aritm´etica dos inteiros, fatora¸c˜oes, desigualdades e parametriza¸c˜oes. Espe-ramos que este trabalho sirva como fonte de estudo e pesquisa aos discentes e docentes interessados em Olimp´ıadas de Matem´atica. Abstract In this work, we will present methods and solution techniques for Linear and Nonlinear Diophantine Equations through Mathematical Olympiad questions. In the treatment of linear equations, we will explore the theory of divisibility in whole numbers, the concept of greatest common divisor (GCD) and, then, we will present a result, thus proving the existence of solutions. In the nonlinear case, we will explore techniques for certain cases, since, for nonlinear Diophantine Equations, there is no general solution method. We will present four cases solving based on integer arithmetic, factorizations, inequalities and parameterizations. We hope that this work will serve as a source of study and research for students and teachers interested in Mathematics Olympiads.